Пирамидальная сортировка
Попытаемся теперь усовершенствовать другой рассмотренный выше простой алгоритм: сортировку простым выбором ПрВыб.
Р. Флойд предложил перестроить линейный массив в пирамиду - своеобразное бинарное дерево, - а затем искать минимум только среди тех элементов, которые находятся непосредственно "под" текущим вставляемым.
Просеивание
Для начала необходимо перестроить исходный массив так, чтобы он превратился в пирамиду, где каждый элемент "опирается" на два меньших. Этот процесс назвали просеиванием, потому что он очень напоминает процесс разделения некоторой смеси (камней, монет, т.п.) на фракции в соответствии с размерам частиц: на нескольких грохотах3) последовательно задерживаются сначала крупные, а затем все более мелкие частицы.
Итак, будем рассматривать наш линейный массив как пирамидальную структуру:
| a[1] | |||||
| a[2] | a[3] | ||||
| a[4] | a[5] | a[6] | a[7] | ||
| a[8] | a[9] | a[10] | a[11] | a[12] | |
Видно, что любой элемент a[i] (1<=i<=N div 2) "опирается" на элементы a[2*i] и a[2*i+1]. И в каждой такой тройке максимальный элемент должен находится "сверху". Конечно, исходный массив может и не удовлетворять этому свойству, поэтому его потребуется немного перестроить.
Начнем процесс просеивания "снизу". Половина элементов (с ((N div 2)+1)-го по N-й) являются основанием пирамиды, их просеивать не нужно. А для всех остальных элементов (двигаясь от конца массива к началу) мы будем проверять тройки a[i], a[2*i] и a[2*i+1] и перемещать максимум "наверх" - в элемент a[i].
При этом, если в результате одного перемещения нарушается пирамидальность в другой (ниже лежащей) тройке элементов, там снова необходимо "навести порядок" - и так до самого "низа" пирамиды:
for i:= (N div 2)downto 1 do begin j:= i; while j<=(N div 2) do begin k:= 2*j; if (k+1<=N) and (a[k]<a[k+1]) then k:= k+1; if a[k]>a[j] then begin x:= a[j]; a[j]:= a[k]; a[k]:= x; j:= k end else break end end;
Пример результата просеивания
Возьмем массив [1,7,5,4,9,8,12,11,2,10,3,6] (N = 12).
Его исходное состояние таково (серым цветом выделено "основание" пирамиды, не требующее просеивания):
| 1 | |||||
| 7 | 5 | ||||
| 4 | 9 | 8 | 12|||
После первых трех просеиваний (a[6], a[5], a[4]) получим такую картину (здесь и далее серым цветом выделяем участников просеивания):
| 1 | |||||
| 7 | 5 | ||||
| 4 | 9 | 812 | |||
| 11 | 2 | 10 | 3 | 6||
| 1 | |||||
| 7 | 5 | ||||
| 11 | 10 98 | 12 | |||
| 11 | 2 | 9 103 | 6 | ||
| 1 | |||||
| 7 | 5 | ||||
| 10 | 8 | 12 | |||
| 2 | 9 | 3 | 6 | ||
| 1 | |||||
| 7 | 12 5|||||
| 11 | 10 | 8 | 5 12|||
| 4 | 2 | 9 | 3 | 6 | |
| 1 | |||||
| 5 | |||||
| 10 | 8 | 12 | |||
| 4 | 2 | 9 | 3 | 6 | |
| 11 | 1 12|||||
| 7 1 | 10 | 8 | 5 | ||
| 4 | 2 | 9 | 3 | 6 | |
| 12 | |||||
| 11 | 8 1|||||
| 7 | 10 | 1 85 | |||
| 4 | 2 | 9 | 3 | 6 | |
| 12 | |||||
| 11 | 8 | ||||
| 7 | 10 | 6 15 | |||
| 4 | 2 | 9 | 3 | 1 6||
Алгоритм УлПир
Для того чтобы отсортировать массив методом Пирамиды, необходимо выполнить такую последовательность действий:
0-й шаг: Превратить исходный массив в пирамиду (с помощью просеивания).
1-й шаг: Для N-1 элементов, начиная с последнего, производить следующие действия:
- поменять местами очередной "рабочий" элемент с первым;
- просеять (новый) первый элемент, не затрагивая, однако, уже отсортированный хвост последовательности (элементы с i-го по N-й).
Реализация алгоритма УлПир
Часть программы, реализующую нулевой шаг алгоритма УлПир, мы привели в пункте "Просеивание", поэтому здесь ограничимся только реализацией основного шага 1:
for i:= N downto 2 do begin x:= a[1]; a[1]:= a[i]; a[i]:= x; j:= 1; while j<=((i-1)div 2) do begin k:= 2*j; if (k+1<=i-1) and (a[k]<a[k+1]) then k:= k+1; if a[k]>a[j] then begin x:= a[j]; a[j]:= a[k]; a[k]:= x; j:= k end else break end end;
Пример. Продолжим сортировку массива, для которого мы уже построили пирамиду: [12,11,8,7,10,6,5,4,2,9,3,1]. С целью экономии места мы не будем далее прорисовывать структуру пирамиды, оставляя это несложное упражнение читателям. Подчеркивание будет отмечать элементы, участвовавшие в просеивании, а полужирный шрифт - элементы, исключенные из дальнейшей обработки:
1) Меняем местами a[1] и a[12]: [1,11,8,7,10,6,5,4,2,9,3,12]; 2) Просеиваем элемент a[1], получаем: [11,10,8,7,9,6,5,4,2,1,3,12]; 3) Меняем местами a[1] и a[11]: [3,10,8,7,9,6,5,4,2,1,11,12]; 4) Просеиваем a[1], получаем: [10,9,8,7,3,6,5,4,2,1,11,12]; 5) Меняем местами a[1] и a[10]: [1,9,8,7,3,6,5,4,2,10,11,12]; 6) Просеиваем элемент a[1]: [9,7,8,4,3,6,5,1,2,10,11,12]; 7) Меняем местами a[1] и a[9]: [2,7,8,4,3,6,5,1,9,10,11,12]; 8) Просеиваем элемент a[1]: [8,7,6,4,3,2,5,1,9,10,11,12]; 9) Меняем местами a[1] и a[8]: [1,7,6,4,3,2,5,8,9,10,11,12]; 10) Просеиваем элемент a[1]: [7,4,6,1,3,2,5,8,9,10,11,12]; 11) Меняем местами a[1] и a[7]: [5,4,6,1,3,2,7,8,9,10,11,12]; 12) Просеиваем элемент a[1]: [6,4,5,1,3,2,7,8,9,10,11,12]; 13) Меняем местами a[1] и a[6]: [2,4,5,1,3,6,7,8,9,10,11,12]; 14) Просеиваем элемент a[1]: [5,4,2,1,3,6,7,8,9,10,11,12]; 15) Меняем местами a[1] и a[5]: [3,4,2,1,5,6,7,8,9,10,11,12]; 16) Просеиваем элемент a[1]: [4,3,2,1,5,6,7,8,9,10,11,12]; 17) Меняем местами a[1] и a[4]: [1,3,2,4,5,6,7,8,9,10,11,12]; 18) Просеиваем элемент a[1]: [3,1,2,4,5,6,7,8,9,10,11,12]; 19) Меняем местами a[1] и a[3]: [2,1,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12]; 20) Просеивать уже ничего не нужно; 21) Меняем местами a[1] и a[2]: [1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12]; 22) Просеивать ничего не нужно, сортировка закончена.
Эффективность алгоритма УлПир
Пирамидальная сортировка хорошо работает с большими массивами, однако на маленьких примерах (N<20) выгода от ее применения может быть не слишком очевидна.
В среднем этот алгоритм имеет сложность, пропорциональную N*log N.
